Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой

Пусть задана система координат с началом $O$, $l$ - прямая в пространстве, $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in l, \vec{a} = (q,r,s)$ - направляющий вектор прямой. Ясно, что эти данные однозначно определяют прямую. Пусть $M(x,y,z)$ - точка пространства, $\vec{r}$ - радиус-вектор $M$, $\vec{r_{0}}$ - радиус вектор $M_{0}$. Тогда $M \in l \iff \overrightarrow{M_{0}M} \parallel \vec{a} \iff \overrightarrow{M_{0}M} = t\vec{a}$. Так как $\vec{r} = \vec{r_{0}} + \overrightarrow{M_{0}M}$, тогда $M \in l \iff \vec{r} = \vec{r_{0}} + t\vec{a}$. Тогда получаем: $$\begin{cases} x = x_{0} + qt \\ y = y_{0} + rt \\ z = z_{0} + st \end{cases}$$ (параметрическое уравнение прямой в пространстве)

Выразим $t$ из системы выше и приравняем выражения: $$\dfrac{x-x_{0}}{q} = \dfrac{y-y_{0}}{r} = \dfrac{z-z_{0}}{s}$$ (канонические уравнения прямой) Если известны координаты двух различных точек $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}), M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, $\overrightarrow{M_{0}M_{1}} = (x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0}, z_{1} - z_{0})$ - направляющий вектор, тогда: $$\dfrac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} = \dfrac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}} = \dfrac{z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}$$ (уравнение прямой по двум точкам)

Всякую прямую в пространстве можно рассматривать, как пересечение двух плоскостей. Пусть $l$ - прямая на пересечении $\sigma_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0,~~ \sigma_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$. Тогда: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \end{cases}$$ (общие уравнения прямой в пространстве) Так как $\sigma_{1} \cap \sigma_{2} \Rightarrow \dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \lor \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$

Пусть $l$ задана уравнениями $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \end{cases}$$ Чтобы найти $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in l$, если, например, $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}}$ положим, что $z_{0} = 0$, тогда $x_{0}$ и $y_{0}$ найдём из системы: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y = -D_{1} \\ A_{2}x + B_{2}y = -D_{2} \end{cases}$$ Чтобы найти направляющий вектор $l$, допустим сначала, что система координат декартова, тогда $\vec{n_{1}} = (A_{1},B_{1},C_{1}), \vec{n_{2}}$ - нормальные векторы плоскостей. Положим $\vec{b} := \vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}} \Rightarrow \vec{b} \perp \vec{n_{1}}$. Так как $\vec{n_{1}} \perp \sigma_{1} \Rightarrow \vec{b} \parallel \sigma_{1}$, аналогично $\vec{b} \parallel \sigma_{2}$, а значит $\vec{b}$ коллинеарен прямой пересечения плоскостей $\sigma_{1}, \sigma_{2}$, т.е. прямой $l$. Так как $\sigma_{1} \nparallel \sigma_{2} \Rightarrow \vec{n_{1}} \nparallel \vec{n_{2}} \Rightarrow \vec{b} = \vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}} \neq \vec{0}$, а значит $\vec{b}$ является направляющим вектором прямой $l$. Получаем, что координаты направляющего вектора равны: $$\vec{s} = \left(\begin{vmatrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} A_{1} & C_{1} \\ A_{2} & C_{2} \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{vmatrix} \right)$$ Теперь, как следствие теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости, обоснуем выбор такого вектора для произвольной системы координат. Пусть $l'$ - прямая, проведённая через $M_{0} \in l$ параллельно $\vec{s}$. Рассмотрим, как расположена $l'$ относительно $\sigma_{1}$: $$A_{1} \begin{vmatrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{vmatrix} - B_{1} \begin{vmatrix} A_{1} & C_{1} \\ A_{2} & C_{2} \end{vmatrix} + C_{1} \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{vmatrix} = 0$$ $$A_{1}x_{0} + B_{1}y_{0} + C_{1}z_{0} + D_{1} = 0$$ А значит $l' \subset \sigma_{1}$. Аналогично $l' \subset \sigma_{2}$. Поэтому $l' = l$.